Question

9．已知函数f（x）=|x-5|+|x+4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥12的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-2^1-3a-1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 去掉绝对值，化简函数f（x）；
（Ⅰ）讨论x的取值，把不等式f（x）≥12转化为去掉绝对值的不等式，从而求出不等式的解集；
（Ⅱ）把不等式f（x）-2^1-3a-1≥0变形，求出f（x）的最小值，再解关于a的不等式即可．

解答 解：∵函数f（x）=|x-5|+|x+4|，
∴当x≥5时，f（x）=2x-1；
当-4＜x＜5时，f（x）=9；
当x≥-4时，f（x）=-2x+1；
（Ⅰ）当x≥5时，不等式f（x）≥12化为2x-1≥12，解得x≥$\frac{13}{2}$，
当-4＜x＜5时，不等式f（x）≥12化为9≥12，无解，
当x≤-4时，不等式f（x）≥12化为-2x+1≥12，解得x≤-$\frac{11}{2}$；
综上，不等式的解集为{x|x≤-$\frac{11}{2}$或x≥$\frac{13}{2}$}；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）-2^1-3a-1≥0恒成立，
∴f（x）≥2^1-3a+1，
又f（x）的最小值是9，
∴9≥2^1-3a+1，
即2³≥2^1-3a，
∴3≥1-3a，
解得a≥-$\frac{2}{3}$，
所以实数a的取值范围是a≥-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，解题的关键是去掉绝对值，是综合性题目．