Question

13．已知函数f（x）=|x+3|-m+1，m＞0，f（x-3）≥0的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥|2x-1|-t²+$\frac{5}{2}$t成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将不等式转化为|x|≥m-1，根据其解集情况，确定m；
（2）将不等式转化为?x∈R，|x+3|-|2x-1|≥-t²+$\frac{5}{2}$t+2成立，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可．

解答 解：（I）∵函数f（x）=|x+3|-m+1，m＞0，
f（x-3）≥0的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
所以f（x-3）=|x|-m+1≥0，
所以|x|≥m-1的解集为为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
所以m-1=2，
所以m=3；  …（5分）
（II）由（I）得f（x）=|x+3|-2
∵?x∈R，f（x）≥|2x-1|-t²+$\frac{5}{2}$t 成立
即?x∈R，|x+3|-|2x-1|≥-t²+$\frac{5}{2}$t+2成立  …（6分）
令g（x）=|x+3|=|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-3}\\{3x+2，-3＜x＜\frac{1}{2}}\\{-x+4，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
故g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$  …（8分）
则有$\frac{7}{2}$|≥-t²+$\frac{5}{2}$t+2，即|2t²-5t+3≥0．
解得t≤1或t≥$\frac{3}{2}$，
∴实数t的取值范围是t≤1或t≥$\frac{3}{2}$  …（10分）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用．