Question

6．已知a₁=1，点（a_n，a_n+1）在函数y=2x+3的图象上．
（Ⅰ）求证：{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{n（a_n+3）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由点（a_n，a_n+1）在函数y=2x+3的图象上，可得a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比数列的定义及其通项公式即可证明．
（II）由（I）可知：a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，即可得出．
（III）n（a_n+3）=n•2ⁿ⁺¹．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵点（a_n，a_n+1）在函数y=2x+3的图象上，∴a_n+1=2a_n+3，
变形为a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=4，
∴{a_n+3}是等比数列，首项为4，公比为2．
（II）解：由（I）可知：a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．
（III）解：n（a_n+3）=n•2ⁿ⁺¹．
∴数列{n（a_n+3）}的前n项和T_n=2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．