Question

已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±

3

x，且双曲线过点（

2

，

3

）
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为

π

4

的直线交双曲线于A，B，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x²-y²=λ，点(

2

，

3

)代入，即可求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x²-y²=λ，点(

2

，

3

)代入得：λ=3，
所以所求双曲线方程为：x2-

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）直线AB的方程为：y=x-2，
由

y=x-2 3x2-y2=3

得：2x²+4x-7=0，…（10分）
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

72

2

=6．…（12分）

点评：本题考查双曲线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．