Question

（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，已知，
，.
（Ⅰ）求直线与底面所成角正切值；
（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点的位置，
使得（要求说明理由）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅱ）当E为中点时，.
 ，
，即. -----------------------------------   6´ 
又，.
，，. --- 9´
（Ⅲ）取的中点，的中点，则∥，且，
,连结，设，连结，
则∥，且，
为二面角的平面角.  ---------------------------  12´
， ， 
∴二面角的大小为45°.   -----------------------------  15´
另解：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则.  - -------------------------  2´
（Ⅰ），面的一个法向量.
设与面所成角为，则 .-- 5´
（Ⅱ）设，，则，,
由，得，所以为的中点.  -------  9´
（Ⅲ）由，得，，又,
可求得面的一个法向量，
面的一个法向量,----------------------------------- 12´
设二面角的大小为，则.----------- 14´
∴二面角的大小为45°.     -----------------------------  15´

略