题目内容

(本题满分14分)已知四棱锥中,,底面是边长为的菱形,
(I)求证:
(II)设交于点中点,若二面角的正切值为,求的值.


解:(I)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD
又ABCD为菱形,所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC
从而平面PBD⊥平面PAC.   ……………6分
(II)过O作OH⊥PM交PM于H,连HD
因为DO⊥平面PAC,可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为A-PM-D的平面角
,且
从而

所以,即.      ………………………14分

法二:如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系,则,, …………8分
从而
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为.  
设平面PMD的法向量为,由

,即 ……………11分
的夹角为,则二面角大小与相等
从而,得

从而,即.                ……………14分
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