Question

3．对函数$f（x）=x+\sqrt{1-{x^2}}$作x=h（t）的代换，则不改变函数f（x）值域的代换是（　　）

• A． h（t）=$sint，t∈[{0，\frac{π}{2}}]$
• B． h（t）=sint，t∈[0，π]
• C． h（t）=sint，t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
• D． h（t）=$\frac{1}{2}$sint，t∈[0，2π]

Answer 1

分析 采用换元法，函数用x=h（t）代换，首先求出x的定义域，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的定义域，得到本题结论．

解答 解：函数$f（x）=x+\sqrt{1-{x^2}}$的定义域为{x|-1≤x≤1}．
当x=h（t）时，其：-1≤h（t）≤1，
则有：h（t）=sint：
可得：-1≤sint≤1，
∴t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
故选C．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．