Question

12．如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3；图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．
（1）求方程f（x）=0的解；
（2）下列说法正确命题的序号是③④（填上所有正确命题的序号）
①$f（{\frac{1}{4}}）=1$；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点$（{\frac{1}{2}，0}）$对称；
（3）求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 借助于图形来看四个选项，先利用f（$\frac{1}{4}$）=-1，判断出①错；
在有实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知②错；
从图形上可得f（x）在定义域上单调递增，③对；
先找到f（$\frac{1}{2}$）=0，再利用图形判断④对

解答 解：如图，（1）方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，
即有AM的弧长为$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{1}{2}$；
（2）因为M在以（1，1-$\frac{1}{2π}$）为圆心，$\frac{1}{2π}$为半径的圆上运动，
对于①当m=$\frac{1}{4}$时．M的坐标为（$-\frac{1}{2π}$，1-$\frac{1}{2π}$），直线AM方程y=x+1，
所以点N的坐标为（-1，0），故f（$\frac{1}{4}$）=-1，即①错．
对于②，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，
所以f（x）不存在奇偶性．故②错．
对于③，当实数m越来越大时，
如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，
即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对．
对于④当实数m=$\frac{1}{2}$时，对应的点在点A的正下方，
此时点N（0，0），所以f（$\frac{1}{2}$）=0，
再由图形可知f（x）的图象关于点（$\frac{1}{2}$，0）对称，即④对．
故答案为：$\frac{1}{2}$； ③④．

点评 本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题