Question

【题目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．

（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；

（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．

（2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．

（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系

C﹣xyz．

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．

所以（﹣2，0，1），（0，﹣2，﹣2）．

所以cos．

即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．

（2）因为（0，2，0），（2，0，0），（0，0，2），

所以0，0，

所以为平面ACC1A1的一个法向量．

因为（0，﹣2，﹣2），（2，0，1），

设平面B1DC的一个法向量为n，n＝（x，y，z）．

由，得

令x＝1，则y＝2，z＝﹣2，n＝（1，2，﹣2）．

所cos＜n，．

所以二面角B1﹣DC﹣C1的余弦值为．