题目内容

【题目】已知函数.

（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围.

（2）如果对任意、，有，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用导数得出的单调性以及极值，画出其函数图象，根据图象，得出实数的取值范围；

（2）结合函数的单调性，构造函数，由得出函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，得出的最小值，即可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，

；

在上单调递增，在上单调递减，则极大值为

当时，；当时，

由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象，如下图所示

在区间，上同时存在函数的极值点和零点

，解得

即

（2）由（1）可知，函数在上单调递减

不妨设，由，得

令

函数在上单调递减

则在上恒成立，即在上恒成立

当时，的最小值为

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