Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点. 问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.

Answer 1

(1)   (2)不能

试题分析：(1)由抛物线的定义可得知,轨迹为抛物线, P（1，0）看作焦点,直线l：x=－1看作准线.从而得出轨迹方程.
(2) 先得出直线的方程,代入圆的方程中可求出直线与圆的交点,再利用两点间距离公式列出方程组,最后验证.
试题解析：(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,     （2分）

所以曲线M的方程为,如上图.     （4分）
(2)由题意得,直线的方程为
   （6分）
由 消去,得
解得   （10分）
存在这样的C点，使得为以为两腰的等腰三角形，
设则

解得   （13分）
但是不符合（1），所以上面方程组无解，因此直线l上不存在点C使得是正三角形   （14分）