题目内容
2．已知直线l的极坐标方程是ρcosθ-ρsinθ-1=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα-1}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数）．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与x、y轴交于M、N两点，点P为曲线C上任一点．求△PMN的面积的最小值．
分析 （Ⅰ）直线l的极坐标方程是ρcosθ-ρsinθ-1=0，利用互化公式可得：直线l的直角坐标方程．曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα-1}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），利用平方关系可得：曲线C的普通方．
（Ⅱ） 曲线C是以（-1，0）圆心，以1为半径的圆，利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离为d，|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，即可得出△PMN的面积的最小值．
解答 解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程是ρcosθ-ρsinθ-1=0，利用互化公式可得：直线l的直角坐标方程为x-y-1=0．
曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα-1}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），利用平方关系可得：曲线C的普通方程为（x+1）2+y2=1．
（Ⅱ） 曲线C是以（-1，0）圆心，以1为半径的圆，
圆心到直线l的距离为$\frac{{|{-1-0-1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
又|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{2}$，所以△PMN的面积的最小值是$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×（\sqrt{2}-1）=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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