Question

14．设命题p：不等式|2x-1|＜x+a的解集是{x|-$\frac{1}{3}$＜x＜3}；命题q：不等式4x≥ax²+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．

Answer 1

分析 解不等式求出命题p中a的值，根据二次函数的性质求出命题q为真时的a的范围，求出p、q均为假命题时a的范围，取补集即可．

解答 解：由|2x-1|＜x+a得$\frac{-a+1}{3}＜x＜a+1$，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{-a+1}{3}=-\frac{1}{3}\\ a+1=3\end{array}\right.⇒a=2$，
∴命题p：a=2．
由4x≥4ax²+1的解集是∅，得4ax²-4x+1≤0无解，
即对?x∈R，4ax²-4x+1＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（-4）^2}-4×4a×1＜0\end{array}\right.$，得a＞1，
∴命题q：a＞1，
由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题，
当p、q均为假命题，则$\left\{\begin{array}{l}a≠2\\ a≤1\end{array}\right.⇒\{a\left|{a≤1\}}\right.$，
故p、q中至少有一个真命题时，a＞1，
∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查二次函数的性质以及复合命题的判断，是一道中档题．