Question

已知x，y∈R⁺，x²+

y2

2

=1，则

1

2

x

1+y2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：根据椭圆的方程可设 x=cosθ、y=2sinθ，代入式子

1

2

x

1+y2

化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．

解答： 解：由题意得，x，y∈R⁺，x²+

y2

2

=1，则设x=cosθ＞0，y=

2

sinθ＞0，
所以

1

2

x

1+y2

=

1

2

x2(1+y2)

=

1

2

cos2θ(1+2sin2θ)

=

1

2

1 2 ×2cos2θ(1+2sin2θ)

≤

1

2

×

1 2

×

2cos2θ+1+2sin2θ

2

=

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3 2

8

，
当且仅当2cos²θ=1+2sin²θ时取等号，此时sinθ=

3

2

，
所以

1

2

x

1+y2

的最大值为：

3 2

8

，
故答案为：

3 2

8

．

点评：本题考查椭圆的参数方程，以及基本不等式求最值问题，关键是变形后利用平方关系得到和为定值．