Question

已知a为实常数，y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x-

a3

x2

+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥a-1，?x＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f（x）在区间（-∞，0）的单调性即可．
（2）对a的取值情况进行讨论，然后，根据恒成立问题进行求解．

解答： 解：（1）∵当x＜0时，f（x）=2x-

a3

x2

+1．
∴f′（x）=2+

2a3

x3

，
令f ′（x）=0，得x=-a．
①当a≤0时，f ′（x）＞0，故f（x）在区间（-∞，0）是单调递增．  …
②当a＞0时，x∈（-∞，-a ），f ′（x）＞0，所以f（x）在区间（-∞，-a ）是单调递增．
x∈（-a，0），f ′（x）＜0，所以f（x）在区间（-a，0）是单调减．
综上所述：当a≤0时，f（x）单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）单调增区间为（-∞，-a ），（a，+∞），单调减区间为（-a，0），（0，a）．
（2）因为f（x）为奇函数，
所以当x＞0时，f（x）=-f（-x）=-（-2x-

a3

x2

+1）=2x+

a3

x2

-1．
①当a＜0时，要使f（x）≥a-1对一切x＞0成立，2x+

a3

x2

≥a对一切x＞0成立．
而当x=-

a

2

＞0时，有-a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．
所以a＜0不成立．
②当a=0时，f（x）=2x-1＞-1=a-1对一切x＞0成立，故a=0满足题设要求．
③当a＞0时，由（1）可知f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数．
所以f_min（x）=f（a）=3a-1＞a-1，所以a＞0时也满足题设要求．
综上所述，a的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题重点考查了函数的奇偶性、单调性，函数的导数与单调性的对应关系，分类讨论思想在求解单调区间中的应用等知识．