Question

如图所示,正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点,

(1).求证:D₁E⊥A₁D;
(2).在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为？，若存在,求出AM的长，若不存在，说明理由

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线面的位置关系、二面角等基础知识，意在考查考生的空间想象能力推理论证能力．第一问，利用为正方形，得到，由于平面与平面ABCD互相垂直，利用面面垂直的性质，得平面，利用线面垂直的性质得，利用线面垂直的判断，得
平面，再利用线面垂直的性质得；第二问，法一：作出辅助线，则利用射影定理得，则即为二面角的平面角，则，在中求出DN，在中求出，从而得到，最后在中求出BM，即得到AM的长；法二：利用向量法，根据已知条件先求出平面MCD和平面的法向量，利用夹角公式，通过解方程得AM的长.
试题解析：（1）连结交于F，
∵四边形为正方形，
∴，
∵正方形与矩形ABCD所在平面互相垂直，交线为，，
∴平面，又平面，
∴，
又，∴平面，
又平面，∴.                 6分
（2）存在满足条件的.
【解法一】假设存在满足条件的点，过点作于点，连结，则，

所以为二面角的平面角，
9分
所以，
在中，所以，
又在中，，所以，∴，
在中，，
∴．
故在线段上存在一点，使得二面角为，且.               12分
【解法二】依题意，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

因为，则，，，，所以，.
易知为平面的法向量，设，所以,
设平面的法向量为，所以，即，
所以，取，
则，又二面角的大小为，
所以，
即，解得.
又因为，所以.
故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.     12分