Question

如图，已知正方体棱长为2，、、分别是、和的中点.

（1）证明：面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）.

试题分析：先以点为原点建立空间直角坐标系，然后标明有效点的坐标，（1）写出有效向量的坐标，利用向量的数量积为零即可证明，从而可得平面；（2）易知为平面的法向量，先计算，然后观察二面角是锐角还是钝角，最终确定二面角的余弦值.
试题解析：以为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2

则  2分
(1)则，
          3分
∵
∴          4分
∵
∴          5分
又，，      6分
∴面                      7分
(2)由(1)知为面的法向量          8分
∵面，为面的法向量      9分
设与夹角为，则   12分
由图可知二面角的平面角为
∴二面角的余弦值为              14分.