Question

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线．

解答： 解：设点C的坐标为（x，y），由已知，得
直线AC的斜率kAC=

y

x+5

(x≠-5)，
直线BC的斜率kBC=

y

x-5

(x≠5)，
由题意得k_AC•k_BC=m，所以

y

x+5

×

y

x-5

=m(x≠±5)
即

x2

25

-

y2

25m

=1(x≠±5)…（7分）
当m＜0时，点C的轨迹是椭圆（m≠-1），或者圆（m=-1），并除去两点（-5，0），（5，0）
当m＞0时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点（-5，0），（5，0）…（10分）

点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．