题目内容
已知x，y，z是周长等于1的三角形ABC的三边，
（1）求证：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz
（2）求证：x2+y2+z2≥
．
（1）求证：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz
（2）求证：x2+y2+z2≥
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考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：（1）x+y+z=1代入，再利用基本不等式，即可证明；
（2）利用分析法进行证明即可．
（2）利用分析法进行证明即可．
解答：
证明：（1）依题知 x，y，z是正数，且x+y+z=1代入
左=（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥2
×2
×2
=8xyz；
（2）要证：x2+y2+z2≥
，
即证3（x2+y2+z2）≥1，
x+y+z=1代入即证3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，
展开后即证
x2+y2+z2≥xy+yz+zx，
由x2+y2≥2 xy，y2+z2≥2yz x2+z2≥2zx，
再同向相加得证．
∴x2+y2+z2≥
．
左=（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥2
| yz |
| xz |
| xy |
（2）要证：x2+y2+z2≥
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即证3（x2+y2+z2）≥1，
x+y+z=1代入即证3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，
展开后即证
x2+y2+z2≥xy+yz+zx，
由x2+y2≥2 xy，y2+z2≥2yz x2+z2≥2zx，
再同向相加得证．
∴x2+y2+z2≥
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点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查分析法，属于中档题．
练习册系列答案
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