题目内容
已知函数y=g（x）在[a，b]上单调递减，函数y=f（x）在[g（b），g（a）]上单调递减，证明：函数y=f（g（x））在[a，b]上单调递增．
考点：复合函数的单调性
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数单调性的定义以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
解答：
解：设t=g（x），
任意设a≤x1＜x2≤b，对应的函数值t1=g（x1），t2=g（x2），
∵函数y=g（x）在[a，b]上单调递减，
∴t1＞t2，
∵函数y=f（x）在[g（b），g（a）]上单调递减，
∴当t1＞t2时，y1=f（t1）＜y2=f（t2），
即当a≤x1＜x2≤b时，y1＜y2，
∴函数y=f（g（x））在[a，b]上单调递增．
任意设a≤x1＜x2≤b，对应的函数值t1=g（x1），t2=g（x2），
∵函数y=g（x）在[a，b]上单调递减，
∴t1＞t2，
∵函数y=f（x）在[g（b），g（a）]上单调递减，
∴当t1＞t2时，y1=f（t1）＜y2=f（t2），
即当a≤x1＜x2≤b时，y1＜y2，
∴函数y=f（g（x））在[a，b]上单调递增．
点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知锐角△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若cos2C=1-
，则角B的大小为（ ）
| c2 |
| b2 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知函数f(x)=x2+(b-
)x+a+b是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（ ）
| 2-a2 |
A、
| ||
| B、2 | ||
| C、4 | ||
| D、-2 |