Question

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

4

)．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f(x0-

π

8

)=-

6

5

，求f（x₀）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦函数的周期公式与单调性即可求得函数y=f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）由f（x₀-

π

8

）=-

6

5

，可求得sin2x₀=-

3

5

，cos2x₀=±

4

5

，通过对cos2x₀取值的讨论，利用两角和的正弦即可求得f（x₀）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

4

），
∴函数y=f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）；
（2）∵f（x₀-

π

8

）=2sin[2（x₀-

π

8

）+

π

4

]=2sin2x₀=-

6

5

，
∴sin2x₀=-

3

5

，
∴cos2x₀=±

4

5

，
当cos2x₀=

4

5

时，
f（x₀）=2sin（2x₀+

π

4

）
=2sin2x₀cos

π

4

+2cos2x₀sin

π

4

=-

6

5

×

2

2

+2×

4

5

×

2

2

=

2

5

；
当cos2x₀=-

4

5

时，
同理可得f（x₀）=-

7 2

5

．
∴f（x₀）=

2

5

或f（x₀）=-

7 2

5

．

点评：本题考查正弦函数的周期性与单调性，考查同角三角函数间的关系与两角和的正弦，考查综合运算与求解能力，属于中档题．