题目内容
在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|．给出下列命题：
（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为3+
；
（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2
；
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为
．
其中为真命题的是（ ）
（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为3+
| 5 |
（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2
| 2 |
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为
| 1 |
| 2 |
其中为真命题的是（ ）
| A、（1）（2）（3） |
| B、（1）（2） |
| C、（1）（3） |
| D、（2）（3） |
考点：命题的真假判断与应用,两点间距离公式的应用
专题：新定义,简易逻辑
分析：先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
解答：
解：（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），
则d（P，Q）=|1-sinα|+|2-2cosα|≤1+|sinα|+2+2|cosα|，
而当α∈[0，
]，|sinα|+2|cosα|=
sin(α+θ)≤
，
∴d（P，Q）的最大值为3+
；①正确；
（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，当P，Q是直线y=x与x2+y2=1的交点时，则d（P，Q）的最大值为2
；②正确；
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为
．
设Q（x，y），B（1，3）
则d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|=|x-1|+|y-3|=|x-1|+|2x-3|
而|x-1|+|2x-3|表示数轴上的x到1和
的距离2倍的之和，其最小值为
．
③正确．
故选：A．
则d（P，Q）=|1-sinα|+|2-2cosα|≤1+|sinα|+2+2|cosα|，
而当α∈[0，
| π |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
∴d（P，Q）的最大值为3+
| 5 |
（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，当P，Q是直线y=x与x2+y2=1的交点时，则d（P，Q）的最大值为2
| 2 |
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为
| 1 |
| 2 |
设Q（x，y），B（1，3）
则d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|=|x-1|+|y-3|=|x-1|+|2x-3|
而|x-1|+|2x-3|表示数轴上的x到1和
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③正确．
故选：A．
点评：本题主要考查了“直角距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．
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