Question

15．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2ax+4，x≥3}\\{\frac{ax+2}{x-2}，2＜x＜3}\end{array}}$在区间（2，+∞）为减函数，则实数a的取值范围（　　）

• A． a＜-1
• B． -1＜a＜0
• C． $-1＜a≤-\frac{1}{2}$
• D． $-1＜a≤-\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，讨论x≥3时，f（x）是一次函数，当2＜x＜3时，函数f（x）=a+$\frac{2a+2}{x-2}$，为幂函数，再利用端点处的函数值即可得出满足条件的a的取值范围．

解答 解：当x≥3时，函数f（x）=2ax+4为减函数，则a＜0，f（x）_max=f（3）=6a+4，
当2＜x＜3时，函数f（x）=$\frac{ax+2}{x-2}$=$\frac{a（x-2）+2a+2}{x-2}$=a+$\frac{2a+2}{x-2}$，为减函数，则2a+2＞0，即a＞-1，此时f（x）＞f（3）=3a+2，
∵函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2ax+4，x≥3}\\{\frac{ax+2}{x-2}，2＜x＜3}\end{array}}$在区间（2，+∞）为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-1}\\{6a+4≤3a+2}\end{array}\right.$，
解得-1＜a≤-$\frac{2}{3}$，
故选：D

点评 本题考查了分段函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．