Question

4．函数f（x）=ln（x+1）-mx在区间（0，1）恒为增函数，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• D． $（-∞，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 f（x）在（0，1）上为增函数，则x∈（0，1）时，f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-m≥0恒成立，即m≤$\frac{1}{x+1}$恒成立，然后再转化为m$≤（\frac{1}{x+1}）_{min}$．由于$y=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上单调递减，故$\frac{1}{x+1}＞\frac{1}{2}$，从而m的取值范围为（-$∞，\frac{1}{2}]$

解答 解：∵f（x）=ln（x+1）-mx在区间（0，1）恒为增函数，
∴x∈（0，1）时，f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-m≥0恒成立，
即x∈（0，1）时，m≤$\frac{1}{x+1}$恒成立，
∵$y=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上单调递减，
∴$\frac{1}{x+1}$＞$\frac{1}{2}$，
∴$m≤\frac{1}{2}$，即m的取值范围为（-$∞，\frac{1}{2}]$．
故选C

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，以及将恒成立问题转化为求函数最值问题，属于中档题