Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），O为坐标原点，以F为圆心，OF为半径的圆与该双曲线的交点的横坐标为$\frac{c}{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由三角形性质可知：（$\frac{c}{2}$）²+y²=c²，代入即可求得P点坐标，代入双曲线方程，同时a²，由e=$\frac{c}{a}$，整理得e²-8e²+4=0，由离心率的取值范围即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：设圆与该双曲线的交点P（$\frac{c}{2}$，y），过P做x轴的垂线交x轴交点为D，
在三角形PDF中，（$\frac{c}{2}$）²+y²=c²，解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由双曲线的性质可知：b²=c²-a²，
将P（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}=1$，两边同时除以a²，
由e=$\frac{c}{a}$，
整理得：e²-8e²+4=0，解得：e²=4±2$\sqrt{3}$，
由e＞1，
∴e²=4+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$+1）²，
∴e=$\sqrt{3}$+1，
故答案选：D．

点评 本题考查双曲线的方程及简单性质，离心率的性质，考查计算能力，属于中档题．