Question

13．函数f（x）=x³-3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．．

Answer 1

分析 利用导数求出函数f（x）在定义域[0，2]内的值域B，利用A∩B=∅求出m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x³-3x+m，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f′（x）=0，
解得x=1或x=-1（舍去），
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是单调减函数，
x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上是单调增函数，
且f（0）=m，f（1）=m-2，f（2）=m+2，
∴f（x）的定义域A=[0，2]，值域为B=[m-2，m+2]，
当A∩B=∅时，m+2＜0或m-2＞2，
解得m＜-2或m＞4，
实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（4，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，也考查了集合的运算问题，是综合性题目．