Question

11．数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1+2a_n=3．
（Ⅰ）证明{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）已知符号函数sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，设b_n=a_n•sgn{a_n}，求数列{b_n}的前100项和．

Answer 1

分析 （I）a_n+1+2a_n=3，可得a_n+1-1=-2（a_n-1）．利用等比数列的定义通项公式即可得出．
（II）b_n=a_n•sgn{a_n}=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+1，n为偶数}\\{{2}^{n}-1，n为奇数}\end{array}\right.$，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1+2a_n=3，∴a_n+1-1=-2（a_n-1）．a₁-1=-2．
∴{a_n-1}是等比数列，首项与公比都为-2．
∴a_n-1=（-2）ⁿ，可得a_n=（-2）ⁿ+1．
（II）解：b_n=a_n•sgn{a_n}=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+1，n为偶数}\\{{2}^{n}-1，n为奇数}\end{array}\right.$，
∴数列{b_n}的前100项和=（2-1）+（2²+1）+（2³-1）+（2⁴+1）+…+（2⁹⁹-1）+（2¹⁰⁰+1）
=2+2²+…+2¹⁰⁰
=$\frac{2（{2}^{100}-1）}{2-1}$=2¹⁰¹-2．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．