已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.且圆C′:x2+y2=1过椭圆C的上顶点和右焦点．(1)求椭圆C的标准方程和离心率,(2)已知直线l与椭圆C只有1个交点.探究:是否存在两个定点P(x1.0).Q(x2.0).且x1＜x2.使得P.Q到直线l的距离之积为1．如果存在.求出这两个定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且圆C′：x²+y²=1过椭圆C的上顶点和右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）已知直线l与椭圆C只有1个交点，探究：是否存在两个定点P（x₁，0）、Q（x₂，0），且x₁＜x₂，使得P、Q到直线l的距离之积为1．如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．

分析（1）由题意可得b=c=1，a=$\sqrt{2}$，进而得到C的标准方程和离心率；
（2）分类讨论，利用直线l与椭圆C有只有一个公共点，确定k，p的关系，设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，建立方程，即可求得结论．

解答解：（1）由题意，b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2））①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，
所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，
则$\frac{|ks+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{|kt+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$，
而（**）不恒成立．
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±$\sqrt{2}$时，
定点（-1，0）、F₂（1，0）到直线l的距离之积d₁?d₂=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
综上，存在两个定点（1，0），（-1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．