题目内容
岳阳市临港新区自2009年6月8日开港来，吸引了一批投资过亿元的现代工业和物流储运企业落户．根据规划，2025年新港将全部建成13个泊位，从2014年（第一年）开始对其中某个子港口今后10年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入800万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从2014年起开始投资4000万元进港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为400万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上．
（Ⅰ）至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（Ⅱ）到哪一年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益=收入-投资）
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入800万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从2014年起开始投资4000万元进港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为400万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上．
（Ⅰ）至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（Ⅱ）到哪一年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益=收入-投资）
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．在方案乙中，前4年的总收入为
=3250＜4000，故n必定不小于5，则由3250+4000×1.54（n-4）＞4000，能求出n的最小值．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则y1=800-[50n+
n(n-1)×20]=-10n2+760n，当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；当n≥5时，y2=3250+400×1.54（n-4）-4000=2025n-8850，由此可得n的最小值．
| 400×(1-1．54) |
| 1-1.5 |
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则y1=800-[50n+
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（I）设从2014年开始经过n年，方案乙的累计总收益为正数．
在方案乙中，前4年的总收入为
=3250＜4000，
故n必定不小于4，则由3250+4000×1.54（n-4）＞4000，解得n＞4
，故n的最小值为5．
答：从2014开始至少经过5年，方案乙能收回投资．
（II）设从2014年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则
y1=800-[50n+
n(n-1)×20]=-10n2+760n
当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2．
当n≥5时，y2=3250+400×1.54（n-4）-4000=2025n-8850
令y1＜y2，可得2025n-8850＞-10n2+760n，即n（2n+253）＞1770
由7（14+253）＞1770，6（12+253）＜1770，可得n的最小值为7．
答：到2020年，方案乙的累计总收益超过方案甲．
在方案乙中，前4年的总收入为
| 400×(1-1．54) |
| 1-1.5 |
故n必定不小于4，则由3250+4000×1.54（n-4）＞4000，解得n＞4
| 30 |
| 81 |
答：从2014开始至少经过5年，方案乙能收回投资．
（II）设从2014年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则
y1=800-[50n+
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| 2 |
当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2．
当n≥5时，y2=3250+400×1.54（n-4）-4000=2025n-8850
令y1＜y2，可得2025n-8850＞-10n2+760n，即n（2n+253）＞1770
由7（14+253）＞1770，6（12+253）＜1770，可得n的最小值为7．
答：到2020年，方案乙的累计总收益超过方案甲．
点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．解题时要注意不等式性质的灵活运用．
练习册系列答案
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