Question

已知圆心为C的圆经过点M（1，2）和N（

13

5

，

14

5

），且圆心C在直线l：x-2y+2=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）记事件“直线ax-by+2b=0与圆C相交”为A，若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率．

Answer 1

考点：圆的标准方程,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,直线与圆,概率与统计

分析：（1）确定圆心坐标与半径，即可求圆C的标准方程；
（2）依题意：直线ax-by+2b=0与圆C相交，则d=

|2a|

a2+b2

＜1，得到：3a²＜b²，又可知a，b均大于0，故b＞

3

a，利用列举法，即可求出事件A发生的概率．

解答： 解：（1）因为M（1，2），N(

13

5

，

14

5

)，
所以线段MN的中点D(

9

5

，

12

5

)，直线MN的斜率为

1

2

，
因此直线MN的垂直平分线的方程为：y-

12

5

=-2(x-

9

5

)，即2x+y-6=0，
所以圆心C的坐标是方程组

2x+y-6=0 x-2y+2=0

的解，得

x=2 y=2

，圆C的半径长r=|CM|=1
所以圆C的方程是（x-2）&²+（y-2）²=1…（6分）
（2）依题意：直线ax-by+2b=0与圆C相交，则d=

|2a|

a2+b2

＜1，得到：3a²＜b²，
又可知a，b均大于0，故b＞

3

a
当a=1时，b=2，3，4，5，6
当a=2时，b=4，5，6
当a=3时，b=6
所以事件A包含的基本事件结果为9，总的基本事件结果有6×6=36种，
故事件A发生的概率为P=

9

36

=

1

4

…（12分）

点评：本题考查圆的方程，考查概率的求解，确定圆的方程是关键．