Question

6．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（-4，0）、B（4，0）．
（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；
（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b²=a²-c²=64-16=48，即可求得椭圆方程；
（2）根据双曲线的定义：丨CA丨-丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b²=c²-a′²=16-4=12，即可求得双曲线的标准方程．

解答 解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，
根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，
∴a=8，…4分
在椭圆中：b²=a²-c²=64-16=48，…6分
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{48}=1$；…8分
（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，
根据双曲线的定义：丨CA丨-丨CB丨=4=2a′，
∴a′=2，…10分
在双曲线中：b²=c²-a′²=16-4=12，…12分
∴双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．…14分．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程，椭圆及双曲线的定义，属于基础题．