Question

18．已知f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$．
（1）证明：f（x）是定义域内的增函数；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定义域R内的增函数；
（2）求出函数在x→-∞时和x→+∞时的极限值，进而可得函数的值域．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{4•ln10•{10}^{2x}}{（1{0}^{2x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是定义域R内的增函数；
（2）当x→-∞时，10^2x→0，$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$→2，f（x）→-1，
当x→+∞时，10^2x→+∞，$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$→0，f（x）→1，
故f（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的值域，极限运算，难度中档．