Question

1．已知直线（2m+1）x+（1-m）y-3（1+m）=0，m∈$（-\frac{1}{2}，1）$与两坐标轴分别交于A、B两点．当△OAB的面积取最小值时（O为坐标原点），则m的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由直线（2m+1）x+（1-m）y-3（1+m）=0，m∈$（-\frac{1}{2}，1）$，可得A$（\frac{3（1+m）}{2m+1}，0）$，B$（0，\frac{3（1+m）}{1-m}）$．利用三角形面积计算公式、二次函数的单调性、反比例函数的单调性即可得出．

解答 解：由直线（2m+1）x+（1-m）y-3（1+m）=0，m∈$（-\frac{1}{2}，1）$，
可得A$（\frac{3（1+m）}{2m+1}，0）$，B$（0，\frac{3（1+m）}{1-m}）$．
∴当△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3（1+m）}{2m+1}$×$\frac{3（1+m）}{1-m}$=$\frac{9}{2}$×$\frac{1+2m+{m}^{2}}{-2{m}^{2}+m+1}$，
令1+m=t∈$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，∴S=$\frac{9}{2}$×$\frac{{t}^{2}}{-2{t}^{2}+5t-2}$=$\frac{9}{2}$×$\frac{1}{-2（\frac{1}{t}-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{9}{8}}$，
∴当t=$\frac{4}{5}$，即m=-$\frac{1}{5}$时，S取得最小值．
故选：C．

点评 本题考查了直线的交点、三角形面积计算公式、二次函数的单调性、反比例函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．