Question

【题目】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A的大小；
（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围

Answer 1

【答案】解：（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴sinA﹣cosA=1，
∴sin（A﹣30°）=，
∴A﹣30°=30°，∴A=60°；
（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，
∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），
∴b+c≤14，
∵b+c＞7，
∴7＜b+c≤14，
∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．
【解析】（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．