Question

【题目】已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}

（Ⅰ）若A∩B=，A∪B=R，求实数a的值；

（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

【解析】试题分析：首先化简集合B，根据A∩B=，A∪B=R，说明集合A为集合B在R下的补集，根据要求列出方程求出a,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p是q的充分条件说明集合A是集合B的子集，根据要求列出不等式组，解出a的范围.

试题解析：

（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，

由A∩B=，A∪B=R，得 ，得a=2，

所以满足A∩B=，A∪B=R的实数a的值为2；

（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以AB，且A≠，所以结合数轴可知，

a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，

所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．