Question

在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为(t为参数），P为C₁上的动点，Q为线段OP的中点．
（1）求点Q的轨迹C₂的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中,N为曲线p=2sinθ上的动点,M为C₂与x轴的交点，求｜MN｜的最大值．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力以及计算能力.第一问，设出Q点坐标，利用中点坐标公式得到P点坐标，而P在上，代入到的参数方程中即可得到的参数方程；第二问，利用第一问的方程可先求出M点坐标，将曲线化为直角坐标方程，利用两点间距离公式再利用数形结合即可求出|MN|的最大值.
试题解析：①设Q(x，y)，则点P(2x，2y)，又P为C₁上的动点，
所以(t为参数)，即(t为参数)．
所以C₂的方程为(t为参数)(或4x＋3y－4＝0).（4分）
②由①可得点M(1，0)，且曲线ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x²＋(y－1)²＝1，
所以|MN|的最大值为.（7分）