Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），且f（x）=-2x的实数根为1和3，若函数y=（x）+6a只有一个零点，求f（x） 的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=ax²+bx+c，由已知得ax²+bx+c=-2x的实数根为1和3，从而b=-2-4a，c=3a，由y=f（x）+6a只有一个零点，得：b²-4a（c+6a）=0，由此能求出f（x）=x²-6x+3．

解答： 解：设f（x）=ax²+bx+c，
∵二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），∴函数图象开口向下，
∵f（x）=-2x 的实数根为1和3，∴ax²+bx+c=-2x的实数根为1和3
整理上式：ax²+（b+2）x+c=0，
将两个实根代入得如下两式：

a+(b+2)+c=0 a•32+(b+2)•3+c=0

，
由上两式得：b=-2-4a，c=3a，
∵y=f（x）+6a只有一个零点，
∴函数y=ax²+bx+c+6a的顶点横坐标就是它唯一的0点横坐标，且△=0，
即：b²-4a（c+6a）=0，
将b=-2-4a，c=3a，代入得：5a²-4a+1=0，
解得a=-

1

5

或a=1（舍），
b=-2-4×（-

1

5

）=-

6

5

，c=3×（-

1

5

）=-

3

5

，
所以f（x）=-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

．

点评：本题二次函数的解析式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质的合理运用．