Question

设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；

（3）设数列满足：对任意的正整数，都有

，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.

Answer 1

（1），（2）详见解析，（3）

【解析】

试题分析：（1）求等比数列通项公式，一般利用待定系数法求【解析】
由得，由得，即，，（2）充要条件证明需从两方面证明：必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，这需分三种情况讨论并利用整数奇偶性进行说明；其中由可得 . 充分性：设，，只需验证即，调整顺序后易知成等差数列，（3）利用和项与通项关系先求出数列通项公式，从而，问题转化为求研究单调性，进而确定其值域变化趋势：，而时，，此时单调递减，所以由，，，，可得.

试题解析：（1）数列是各项均为正数的等比数列，，，

又，，，； 4分

（2）（ⅰ）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若，则，，，

. 6分

②若，则，，左边为偶数，等式不成立，

③若，同理也不成立，

综合①②③，得，所以必要性成立. 8分

（ⅱ）充分性：设，，

则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，

所以充分性也成立.

综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. 10分

（3）因为，

即，（*）

当时，，（**）

则（**）式两边同乘以2，得，（***）

（*）－（***），得，即，

又当时，，即，适合，. 14分

，，

时，，即；

时，，此时单调递减，

又，，，，. 16分

考点：等比数列通项公式，等差数列，由和项求通项