Question

6．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，b=1，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值．

解答 解：由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}sinA$，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}sinC$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}sin（\frac{2π}{3}-A）$．
∴a+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}sin（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}sinA$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴$\frac{1}{2}＜$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1．∴1＜2sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2．
∴a+c的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了正弦定理得应用，两角和差的三角函数，正弦函数的图象与性质，属于中档题．