Question

3．设f（x）=|$\frac{1}{2}$x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p²+q²+r²的最小值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；
（2）由柯西不等式：（a²+b²+c²）（d²+e²+f²）≥（ad+be+cf）²，即可求p²+q²+r²的最小值．

解答 解：（1）x≤-2时，f（x）=-$\frac{3}{2}$x-1≥2；
-2＜x＜0时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+1∈（1，2）；
x≥0时，f（x）=$\frac{3}{2}$x+1≥1
∴f（x）的最小值为1，即a=1；
（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²
=（p+q+r）²=3²=9，
即p²+q²+r²≥3，∴p²+q²+r²的最小值为3．

点评 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．