Question

18．已知F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的交点，直线l₁：y=-x与抛物线C的一个交点横坐标为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|=$\frac{1}{2}$|AB|，求△FAB的面积．

Answer 1

分析 （1）确定抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C方程；
（2）设l₂的方程为x=y+m，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，求出m的值，从而可求△FAB的面积．

解答 解：（1）由题意，抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的坐标为（8，-8），
代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，
∴抛物线C方程为y²=8x；
（2）∵不过原点的直线l₂与l₁垂直，∴可设l₂的方程为x=y+m，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l₂与x轴交点为M
直线方程代入抛物线方程，可得y²-8y-8m=0
△=64+32m＞0，∴m＞-2
由韦达定理得y₁+y₂=8，y₁y₂=-8m，∴x₁x₂=m²，
由题意，OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=m²-8m=0
∴m=8或m=0（舍去）
∴l₂的方程为x=y+8，M（8，0）
∴S_△FAB=$\frac{1}{2}$|FM||y₁-y₂|=3$\sqrt{64-4×（-64）}$=24$\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积是计算，属于中档题．