Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ax，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴y=-x+3=f（1）=$\frac{1}{3}$-a+b=2①，
f′（1）=-1=1-2a②，
由①②解得：a=1，b=$\frac{8}{3}$；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+$\frac{8}{3}$，
∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=$\frac{8}{3}$，f（2）=$\frac{4}{3}$，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．