Question

已知f（x）=-

1 x2 +4

（x＞0）．
（1）a₁=1，

1

an+1

=-f（a_n），n∈N^*，求{a_n}的通项；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_2n+1-S_n，是否存在整数m，对一切n∈N^*，都有b_n＜

m

25

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的应用

专题：计算题,存在型,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据递推数列，利用构造法即可证明数列{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，由等差数列的通项公式即可得到；
（2）求出{a_n²}的通项公式，判断{S_2n+1-S_n}的单调性，即可求正整数m的最小值．

解答： 解：（1）a₁=1，

1

an+1

=-f（a_n）=

1 an2 +4

，
即有

1

an+12

-

1

an2

=4，
即数列{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，
则

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，
故a_n=

1 4n-3

；
（2）由于a_n²=

1

4n-3

，
由于b_n=S_2n+1-S_n，
则b_n-b_n+1=（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
若

14

45

≤

m

30

，
∴m≥

28

3

，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．