Question

1．在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，D是BC边上靠近B点的四等分点，点E是AC边上靠近点A点的三等分点，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=（　　）

• A． -$\frac{9}{4}$
• B． $\frac{4\sqrt{2}}{9}$
• C． -$\frac{7}{9}$
• D． $\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}）$，然后进行数量积的运算即可．

解答 解：如图，

根据条件：
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}）$；
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$
=$-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}）•[\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}）]$
=$\frac{1}{12}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-9{\overrightarrow{AB}}^{2}）$
=$\frac{1}{12}（9-36）$
=$-\frac{9}{4}$．
故选A．

点评 考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算．