Question

10．若函数f（x）=sinx-cosx+ax+1，x∈[0，2π]的图象与直线x=0，x=π，y=0所围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{2}$π²+π+2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）单调区间及最值；
（3）求函数g（x）=f（x）-m在区间x∈[0，2π]上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）由题意得S=${∫}_{0}^{π}f（x）dx$=$\frac{1}{2}$π²+π+2，解得a的值；
（2）求导，利用导数法分析函数的单调性，进而可得函数f（x）单调区间及最值；
（3）作出函数f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]的简图，数形结合可得函数g（x）=f（x）-m在区间x∈[0，2π]上的零点个数．

解答 解：（1）由题意，知函数f（x）=sinx-cosx+ax+1，x∈[0，2π]的图象
与直线x=0，x=π，y=0所围成的封闭图形的面积为S=${∫}_{0}^{π}f（x）dx$=$\frac{1}{2}$π²+π+2，
即（-cosx-sinx+$\frac{1}{2}{ax}^{2}$+x）${|}_{0}^{π}$=$\frac{1}{2}$π²+π+2，
即（$\frac{1}{2}$aπ²+π+1）-（-1）=$\frac{1}{2}$π²+π+2，
解得：a=1，
∴f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]．
（2）对函数f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]求导，
得f′（x）=cosx+sinx+1=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1，x∈[0，2π]，
令f′（x）=0，则sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又x∈[0，2π]，则x=π或x=$\frac{3π}{2}$，列表：

x	[0，π）	π	（π，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大	单调递减	极小	单调递增

所以函数f（x）单调递增区间为[0，π），（$\frac{3π}{2}$，2π]；递减区间为（π，$\frac{3π}{2}$），
f（x）的极大值为f（π）=π+2，f（x）的极小值为f（$\frac{3π}{2}$）=$\frac{3π}{2}$，
而f（0）=0，f（2π）=2π，
f（x）_max=f（2π）=2π，f（x）_min=f（0）=0．
（3）由（1）可作出函数f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]的简图，

则g（x）=f（x）-m的零点可看作y=g（x）与y=m的交点问题，
当m∈[0，$\frac{3π}{2}$）∪（π+2，2π]时，有一个零点；
当m∈{$\frac{3π}{2}$，π+2}时，有两个零点；
当m∈（$\frac{3π}{2}$，π+2）时，有三个零点．

点评 本题考查的知识点是定积分，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，函数的零点，难度中档．