题目内容

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点M是椭圆上一点，三角形MF1F2的面积的最大值为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设不经过焦点F1的直线?：y=kx+m与椭圆交于不同两点A、B，如果直线AF1，?，BF1的斜率依次成等差数列，求m的取值范围？

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出椭圆的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，△＞0，可得3k2-m2+2＞0．由直线AF1，?，BF1的斜率依次成等差数列，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k．把根与系数的关系代入可得：$（m-k）（\frac{3km}{3{k}^{2}+2}-1）$=0．m=k（舍去），或$\frac{3km}{3{k}^{2}+2}$=1．结合△＞0，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a2=3，b2=2，∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，∴△＞0，可得3k2-m2+2＞0．
∴x1+x2=-$\frac{6km}{2+3{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，∵直线AF1，?，BF1的斜率依次成等差数列，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k．
∴$\frac{（k{x}_{1}+m）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+m）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=2k，$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（k+m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=2k，
把根与系数的关系代入可得：$（m-k）（\frac{3km}{3{k}^{2}+2}-1）$=0．
∴m=k（舍去），或$\frac{3km}{3{k}^{2}+2}$=1．化为：m=$\frac{3{k}^{2}+2}{3k}$=k+$\frac{2}{3k}$，又3k2-m2+2＞0．∴k2$＞\frac{1}{3}$，
∴k$＞\frac{\sqrt{3}}{3}$时，m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，当且仅当k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号．
k$＜-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，当且仅当k=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号．
综上上述可得：m∈$（-∞，-\frac{2\sqrt{6}}{3}]$∪$[\frac{2\sqrt{6}}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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