Question

16．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定于判断即可．
（2）利用定义证明f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，其函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称；
则f（-x）=-x+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
故得函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$是奇函数．
（2）设任意的x₁，x₂满足2＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}-{x}_{2}+\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{4}{{x}_{2}}$
=$-（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{2}{x}_{1}}$；
∵2＜x₁＜x₂，
∴4-x₂x₁＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故得f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性的证明和单调性的证明．属于基础题．