Question

6．如图，正方形ABCD和直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，四边形ADEG是平行四边形，O为正方形ABCD的中心，AB=$\sqrt{2}$，EF∥BD，DE=EF=1，DE⊥BD．
（1）求证：CF∥平面OGE；
（2）求证：DF⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BOEF为平行四边形，可得OE∥BF，通过证明平面BCF∥平面OGE，即可得证CF∥平面OGE．
（2）连接OF，由（1）可知ODEF为正方形，可得DF⊥OE，进而证明AC⊥平面BDEF，可得DF⊥AC，即可证明DF⊥平面ACE．

解答 证明：（1）∵EF∥BD，BD=2EF=2，O为正方形ABCD的中心，
∴EF∥OB，EF=OB，即BOEF为平行四边形，
∴OE∥BF，
又∵OE?平面OGE，BF?平面OGE，
∴BF∥平面OGE，
∵BC∥AD∥GE，
∴BC∥平面OGE，
∵BC∩BF=B，
∴平面BCF∥平面OGE，
∴CF∥平面OGE．
（2）连接OF，由（1）可知ODEF为正方形，
∴DF⊥OE，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC．
又∵平面ABCD⊥平面BDEF，且平面ABCD∩平面BDEF=BD，
∴AC⊥平面BDEF，
∴DF⊥AC
又OE∩AC=O，
∴DF⊥平面ACE．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．