Question

[已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函数（a＜0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a＞1，x∈(1，

3

)时，f（x）的值域是（1，+∞），求a的值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数奇偶性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是奇函数知f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，从而解出m并检验；
（2）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，当a＞1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数；利用定义证明；
（3）当a＞1时，f(x)=loga

x+1

x-1

在(1，

3

)上为减函数，要使f（x）在(1，

3

)上值域是（1，+∞），即loga

x+1

x-1

＞1，可得

x+1

x-1

＞a．从而构造函数求解．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，
即loga

1+mx

-x-1

=-loga

1-mx

x-1

，
∴1-m²x²=1-x²，
∴m=-1或m=1（舍去），
∴m=-1．
（2）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，
当a＞1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，证明如下，
由（1）得f(x)=loga

x+1

x-1

(a＞0且a≠1)，
设t(x)=

x+1

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂
∴t(x1)-t(x2)=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂
∴t（x₁）＞t（x₂），
即

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

；
所以当a＞1时，loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

即f(x1)＞f(x2)
函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数；
所以当0＜a＜1时，loga

x1+1

x1-1

＜loga

x2+1

x2-1

即f(x1)＜f(x2)
函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数；
（3）当a＞1时，f(x)=loga

x+1

x-1

在(1，

3

)上为减函数，
要使f（x）在(1，

3

)上值域是（1，+∞），即loga

x+1

x-1

＞1，可得

x+1

x-1

＞a．
令g(x)=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

在(1，

3

)上是减函数．
所以g(x)∈(1+

2

3 -1

，+∞)，
所以a=1+

2

3 -1

=2+

3

．所以a=2+

3

．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．