Question

（2x+

1

x

）ⁿ展开式中所有的项的系数为243．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中x²项的系数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（I）依题意，得3ⁿ=243，可得n=5；
（Ⅱ）由（2x+

1

x

）⁵的二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r 5

•（2x）^5-r•x-

r

2

=2^5-r•

C

r 5

•x5-

3r

2

，知5-

3

2

r=2，可求得r=2，从而可得展开式中x²项的系数．

解答： 解：（I）∵（2x+

1

x

）ⁿ展开式中所有的项的系数为243，
∴当x=1时，有3ⁿ=243，
∴n=5；
（Ⅱ）设（2x+

1

x

）⁵展开式中的通项T_r+1=

C

r 5

•（2x）^5-r•x-

r

2

=2^5-r•

C

r 5

•x5-

3r

2

，
令5-

3

2

r=2，得r=2，
∴展开式中x²项的系数为：2³•

C

2 5

=80．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．